一句话，看完之后燃起重学高中数理化生的斗志，因为好奇心使然。

• 一个平面上的所有点的数量等于一条线上的所有点的数量。

• 一条线上点的数量大于，或者说强于所有整数或分数的数量

• 分数的数量和整数的数量相等

• 部分可能等于整体！

• 偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。

• 所有数字（包括奇数和偶数）的数量和偶数的数量

• 奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷数

• 利用−1的平方根这个虚数，人们还找到了另一座惊人的宝藏：我们习以为常的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个符合四维几何学的统一坐标系。

• 直到两位业余数学家赋予了它简单的几何意义，虚数才算得以正名。这两位先行者分别是挪威的测绘员韦塞尔（Wessel）和巴黎的会计师罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。

• 学家莱昂哈德·欧拉出版了一本代数学著作，虚数在这本书中得到了广泛的应用。

• 第一位将看似无意义的负数平方根列入方程的勇者是16世纪的意大利数学家卡尔达诺（Cardano）。

• “我有一个绝妙的办法可以证明这一点，”费马继续写道，“但这一页的页边太窄了，实在写不下。”

• 要讨论整数，费马大定理（Great Theorem of Fermat）是个绕不开的话题，它代表着与质数性质表面上全然无关的另一类数学问题。

• 直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家德拉瓦莱·普森才终于成功地证明了这一定理，

• 数字越大，质数出现的频率就越低，我们能不能用一个简单的数学式来表达这样的趋势呢？答案是肯定的。

• 俄罗斯数学家施尼雷尔曼（Schnirelman）朝验证哥德巴赫猜想的目标迈出了建设性的一步。他证明了任何一个偶数都能表示为不多于300,000个质数之和。

• 在1742年提出的，它宣称任何一个偶数都能表示为两个质数之和。

• 数论中还有一个既没被证明也没被证伪的有趣问题，人称“哥德巴赫猜想”

• 筛选法

• 既然我们知道质数有无穷多个，那么我们不妨问问自己：有没有什么简单的办法能将所有质数按照顺序一个不漏地列出来呢？

• 归谬法

• 质数的个数是无限的吗？还是说存在一个最大的质数，比它大的任何数字都可以表示为已有质数的乘积？

• 尽管数论的确是最纯粹的数学，但从某个角度来说，它又是一门基于经验甚至实验的科学。

• 帮助你理解弯曲空间和自我封闭空间这类奇怪的概念。

• 壁或者篱笆挡住；只要你走得够远，最终你一定会发现自己回到了起点。

• V+F=E+2−2N，其中N代表通孔的数量

• 椒盐卷饼”形的多面体，V+F=E−2

• 环形多面体——来说，V+F=E

• 欧拉的公式还证明了一个有趣的推论：正多面体只可能有五种，也就是图14中的那五个。

• 17世纪的法国著名数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）首先注意到的，后来另一位数学天才莱昂哈德·欧拉严格证明了这个定理，因此它被称为“多面体欧拉定理”。

• 上述等式适用于任何情况。那么显然，V+F=E+2是拓扑学中的一个通用数学定理，因为这个等式不需要测量棱的长度或者面的大小，它只和几个不同的几何单元（即顶点、棱和面）的数量有关。

• 如果把这个球压扁，比如说变成南瓜的形状，或者拉伸变成黄瓜，球面上点、线和区域的数量都将保持不变，和原来的完美球面一模一样。

• 要研究空间最基本的特性，很多时候你根本不必测量任何长度和角度。几何学的这个分支被称为位相几何学（analysis situs）或者拓扑学（topology），它是数学中最困难也最刺激的一个部分。

• 三维球体在二维面上的投影是两个点对点重叠的圆盘，它们只通过共同的边缘相连；那么超球体的三维投影必然是两个重叠的球体，只通过共同的表面相连。

• 四维球体的三维投影就是上一章中那个连体婴儿般的“双重苹果”，它由两个果皮完全重叠的苹果组成。

• 事实上，现在我们或许可以抛弃“太阳直接对行星产生引力，使之绕太阳作圆周运动”这个不准确的旧说法，更准确的描述应该是：太阳的质量弯曲了周围的时空，行星的世界线看起来之所以是图30中的样子，仅仅是因为，那个弯曲的空间中的测地线就是这样的曲线。

• 既然不能再用这些曾经被公认的基本原理研究原子内部的电子，那我们该用什么基础工具来理解电子的运动呢？为了应对量子力学中位置、速度、能量等参数的不确定性，我们需要一套取代经典力学方法的数学体系。

• 线条，但这条轨道的“厚度”比组成子弹的物质原子尺寸小很多个数量级，所以实际上我们可以将它视为零。不过，如果将研究对象换成更容易被测量干扰的更轻的物体，我们就会发现，运动轨道的“厚度”变得越来越重要。对于绕核运动的电子来说，运动轨道的厚度与其直径尺度相当，

• 一些基本的概念和定律或许可以做些变通。

• 既然天文学定律与电子的实际运动产生了矛盾，那么我们首先应该考虑

• 当然，我们没有理由预先假设经典力学定律就一定无法解释原子内部细微部件的运动；但是从另一方面来说，如果真的遭遇了这样的失败，我们也不必过于惊讶。

• 事实上，我们熟悉的力学定律和概念都是基于已有的观察经验建立起来的，而这些经验都来自与人类自身尺寸相仿的物体。后来我们开始运用这些规律解释另一些大得多的物体的运动，例如行星和恒星，结果获得了成功，所以我们才能极为准确地计算前后几百万年的各种天文现象。因此，我们毫不怀疑，这些熟悉的力学定律确实可以向外推广，解释大型天体的运动。

• 麻烦的根源在于，和太阳系的行星不一样，原子内部的电子携带电荷；和任何振动或旋转的带电粒子一样，绕核旋转的电子必然释放大量电磁辐射。这些辐射会带走能量，

• 要看清单个分子，我们只能借助波长只有可见光几千分之一的射线——换句话说，我们必须借助X射线。

• 物体温度升高实际上是因为分子不规律热运动加剧。

• 油面上的彩虹源自光的干涉现象，射入水面的光分别在油膜的上边界和下边界发生反射，这两组光会发生干涉；水面上不同的区域之所以会出现不同的颜色，因为油膜是从油滴落下的那个点开始扩散的，所以它的厚度并不均匀。如果你多等一会儿，让油膜均匀分布，那么整个油面就会呈现出同一种颜色。

• 古代科学家对物质内部结构和化学变化过程的认识基本正确，他们的错误在于没找对基本元素

• 火焰实际上只是大量的受热气体

• 铀的重同位素之所以会阻碍链式反应，本质上是因为它会吸收铀235裂变产生的很大一部分中子，从而降低下一步链式反应发生的概率。

• 在自然界所有的天然原子核中，只有一种原子核有可能发生这样的反应，它就是著名的轻同位素铀，铀235，它是唯一一种天然的可裂变物质。

• 元素的原子量越大，它释放的中子引发核裂变的效率就越高，周期表尽头的那些元素裂变效率接近100%。

• 重原子核的裂变

• 轻原子核的聚变

• 周期表前半部分（大约到银为止）所有元素的原子核都是表面张力占上风，而对于那些更重的原子核来说，电斥力更具优势。

• 不受外力作用的液滴总是倾向于形成理想球体，因为在体积相同的情况下，球体的表面积最小。

• 这种无视粒子本身特性的引力通常被称为“内聚力”（cohesive force）。

• 首先我们必须明确一件事：将原子核的各个部件结合在一起的力绝不仅仅是电磁力，因为组成原子核的粒子有一半（中子）完全不带电，而另一半（质子）携带正电，所以后者必然互相排斥。如果这些粒子之间只存在斥力，那它们肯定没法组成稳定的结构！

• 空间中的电磁力借助电磁波传播。

• 原子核获得的反冲速度恒定，因为这是两种粒子共同产生的影响。

• 原子核调整电荷的过程通常被称为“β衰变”。这个过程释放的电子叫作β粒子。

• 阳光穿过大气的时候，空气中不均匀的分子团会散射蓝光，所以你才会看到蓝色的天空，太阳看起来也比实际颜色更红。落日时太阳变红的效应表现得特别明显，因为这时候阳光必须穿过靠近地面的密度最大的空气层。如果没有密度涨落效应，天空将一片漆黑，我们在白天也能看到星星。

• 热实际上是分子的无规律机械运动，那么你应该很容易理解，要将给定物质蕴含的热完全转化为宏观运动的机械能，这等同于迫使该物体的所有分子朝一个方向运动

• 由于水中的分子排列得相当紧密（相对于气体而言），所以每个分子在连续两次碰撞之间平均行经的自由路程很短，大约只有几亿分之一英寸。

• 利用热彻底分解物质，将原子核拆成独立的核子（质子和中子），我们至少需要几十亿度的高温。

• 但在恒星尤其是太阳内部却很常见。就连原子也无法在这样的酷热环境中幸存，它的所有外层电子都会被剥夺，物质最终会变成赤裸的原子核与自由电子组成的混合物，电子在空间中高速运动，以极其强大的力量互相碰撞。不过，尽管原子已经残缺不全，但物质仍保留了最基本的化学性质，因为它的原子核仍原封未动。如果温度有所下降，原子核将重新捕获电子，再次形成完整的原子。

• 高温下剧烈的热碰撞不仅会将分子撕裂成原子，还会剥夺原子的外层电子。

• 任何分子都无法在几千度的高温下存活，在这样的高温环境中，物质将变成纯化学元素组成的气态混合物。

• 如果温度继续升高，就连分子本身也岌岌可危，因为越来越剧烈的碰撞会将分子撕裂成原子。

• 物质的熔点越高，它的沸点也越高。

• 值得一提的是，我们可以通过测量水的沸点推算当地的大气压，继而确定海拔高度。

• 压力也会影响液体的蒸发过程，因为来自外界的压力会帮助内聚力束缚分子。

• 既然固体的熔点各不相同，不同的液体自然也有不同的蒸发温度（沸点）

• 随着温度继续升高，内聚力无法再束缚分子，它们开始四下飞散；

• 不同的液体自然也有不同的蒸发温度（沸点），内聚力较弱的物质沸点相对较低

• 根据热运动的基本定律，给定温度下任何物质的每一个分子携带的能量完全相同，无论它是固体、液体还是气体，它们唯一的不同之处在于，对某些物质而言，这么多能量足以帮助分子摆脱束缚、自由运动，而另一些物质分子只能在原地剧烈颤抖，就像一群被短链子拴紧的怒犬。

• 这种融化过程必须在特定的温度下才会发生，具体取决于物质分子的内聚力强度。

• 到了某个特定的阶段，这些分子就会获得一定的自由度，

• 如果有人说，还有更低的温度，那就太荒谬了，因为世上没有比绝对静止更慢的运动！

• 布朗运动实际上是物质看不见的热运动造成的结果，而我们通常所说的温度其实不过是度量分子热运动剧烈程度的一种标准。

• 用无生命材料合成生命关键的第一步

• 病毒微粒理应被视为活的个体。现在我们可以同样坚定地说，这些微粒也应该被视为正常的化学分子，因为它符合所有的物理化学定律。事实上，如果完全采用化学手段来研究病毒材料，你很容易发现，病毒也应该被视为一种结构精妙的化合物。我们可以用处理其他复杂有机（但没有活性）化合物的手段来处理它们，这些微粒也能参加各种各样的置换反应。生物化学家早晚能写出每种病毒的化学式，就像今天我们写出酒精、甘油或者糖的化学式一样轻松，这基本是件板上钉钉的事情。

• 流感肆虐的时候，我们可以很有把握地说，带来疾病的肯定是一种新的突变型流感病毒，

• 哥白尼的见解更加高明，他提出了一个天才的解释：土星之所以会出现神秘的绕圈现象，是因为地球和其他行星一起绕太阳作圆周运动。看看示意图113，你应该很容易理解这为什么能解释土星的绕圈效应。

• 比太阳小30%。哥白尼提出的革命性理论第一次得到了直接的印证，他认为无垠的宇宙中散布着无数相距遥远的恒星，我们的太阳只不过是其中的一颗。

• 虽然我们看到的天鹅座61只是夜空中一个黯淡的小光点，但通过测量它和我们之间的距离，贝塞尔算出了一个惊人的结果：这颗恒星实际上是一个明亮的巨大天体，亮度仅次于辉煌的太阳，体积也只

• 只需要同时从这两座城市拍摄星空背景上的月亮就行。把这两张照片放到立体镜里，你就能看到月亮悬挂在星空中。通过测量同一时刻在地球上不同地点拍摄的月球与星空的照片，天文学家发现，如果从地球表面的两个对跖点观察，月球的视差距离是1°24′5″

• 观察遥远物体的时候，双眼的视线几乎完全平行，所以视差位移小得可以忽略不计。

• 第一次意识到脚下的大地可能是一个大球以后，人们自然会问，这个球到底有多大？我们已知的世界占据了球面上的多少面积？

• 埃拉托斯特尼

• 麦哲伦

• 哥伦布

• 如果你跑到地球背面，那么“上”就变成了“下”，“下”却成了“上”，对他们来说，这样的想法简直就是疯了，就像今天的很多人认为爱因斯坦的相对论疯了一样。

• 著名的希腊哲学家（当时的“哲学家”其实就是科学家）亚里士多德。

• 现在的宇宙之所以会膨胀，只是因为在之前的某个阶段（当然，这段历史没有留下任何记录），它曾经从无限大收缩到非常致密的状态，然后重新展开，就像被压缩的物质天然拥有极强的弹力。 历史也许就是重复 没了我们 宇宙重新压缩膨胀 重新洗牌 又重生了我们在探讨过去从前 轮回 生生不息

• 这个每秒11千米的速度通常被称为地球引力的“逃逸速度”。

• 月球（这颗卫星显然是被太阳的强大引力从地球上撕裂出去的）也必然形成于好几十亿年前。

• 恒星体为什么会突然急速收缩？

• 随着时间的流逝，白矮星白炽状态的本体变得越来越黯淡，最终变成“黑矮星”，正常天文观测手段完全看不到这些冷冰冰的大团物质。

• 天文观测结果表明，宇宙中大量存在这类“萎缩恒星”，它们的平均密度是水的好几十万倍。这些恒星依然灼热，极高的表面温度促使它们发出明亮的白光，显著区别于主序恒星正常的黄色或红色光芒。不过，由于这些恒星的尺寸很小，所以它们的总亮度其实不高，大约只有太阳的几千分之一。天文学家将恒星演化的这个最终阶段命名为“白矮星”

• 耗光了氢燃料的恒星会变成什么样？ 核聚变产生的能量支撑着恒星漫长的生命，确保它总体上维持原状，这些能量消失以后，恒星本体必然开始收缩，密度也变得越来越大。

• 于是我们发现，太阳的寿命长达15×1018秒，也就是将近500亿年！要知道，我们的太阳现在只有三四十亿岁，对于恒星来说相当年轻，所以在未来的几十亿年里，它还将以同样的亮度照耀我们。

• 氢缓慢嬗变为氦的“炼金术”反应是恒星的生命之源。

• 毋庸置疑，白矮星代表着恒星演化的最终阶段，到了这个时期，恒星内部所有的氢燃料都已耗尽。

• 太阳内部超过一半的物质是纯粹的氢，氮的占比略小于一半，其他所有元素加起来也微乎其微。

• 在第七章中我们已经看到，几乎每一种化学元素都能充当“炼金术”燃料，每个原子内部都储藏着大量能量，如果将物质加热到几百万度，这些能量就有可能释放出来。

• 魏茨泽克仔细分析了上述情况，最终发现，要让这样的系统稳定下来，每条“项链”必然包含五个独立的旋涡状结构，

• 现在我们知道，恒星际空间并非真空，而是充满了气体和细小的尘埃，

• 这团灼热的宇宙物质是怎么形成的？什么样的力量促使它凝聚成形，构成这个熔岩球的材料又来自何方？