这是一篇摘记¹。

引理作用

Borel-Cantelli引理是概率论中一个很重要的引理。该引理可以帮忙我们理解几乎处处收敛和依概率收敛之间的关系，也可用于论证强相合性和强大数律等。为说明该引理，法国数学家博雷尔(Émile Borel, 1871-1956)在1913年介绍了“打字的猴子”的概念。无限猴子定理指出，一个在打字机键盘上随机敲打键盘的猴子，只要时间无限长，那么它几乎肯定会键入任何给定的文本，例如莎士比亚全集。

引理由来

定义1 $\quad$ 设$\{X_n,n \ge 1\}$ 是随机变量序列，若存在随机变量$X$使得 $$Pr\left(\omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} X_n(\omega)=X(\omega)\right)=1,$$ 则称随机变量序列$\{X_n,n \ge 1\}$几乎必然收敛（或以概率1收敛）于$X$，记为$X_n \to X, a.s.$。

定义2 $\quad$ 设$\{X_n,n \ge 1\}$ 是随机变量序列，若存在随机变量$X$使得对任意的$\epsilon > 0$，有 $$\lim_{n \to \infty} Pr(|X_n-X|\ge\epsilon)=0,$$ 则称随机变量序列$\{X_n,n \ge 1\}$依概率收敛于$X$， 记为$X_n \stackrel{p}{\longrightarrow} X$。

定理1 $\quad$ $X_n \implies X, a.s.$ 等价于$\forall \epsilon > 0$， $$Pr(|X_n-X|>\epsilon \ i.o.) = \lim_{n \to \infty}Pr(\bigcup_{k=n}^{\infty}|X_n-X|>\epsilon)=0。$$

总结 $\quad$ 几乎处处收敛考察的是不收敛的样本点的概率是否为 0，而依概率收敛则考察$X_n$和$X$差异的尾概率是否趋于 0。定理1给出几乎处处收敛的等价定义，可知，几乎处处收敛$\implies$依概率收敛。那么在什么条件下，依概率收敛$\implies$几乎处处收敛呢？对此，Borel-Cantelli第一引理给出了答案。

引理内容

引理1 $\quad$ 设$\{A_n, n=1,2,\cdots\}$是一列事件，若$\sum_{n=1}^{\infty}Pr(A_n)<\infty$，则$Pr(A_n,i.o)=0 $。

令$A_n=\{|X_n-X|>\epsilon\}$，则可知依概率收敛仅要求级数的每一项$Pr(A_n)$趋于0。而几乎处处收敛要求更高一点，需要对应的级数是收敛的(充分条件)，这就要求级数的每一项$Pr(A_n)$趋于0的速度要快一点。

引理1推论 $\quad$ 依概率收敛可以推出子列几乎处处收敛。

引理2 $\quad$ 设$\{A_n, n=1,2,\cdots\}$是独立的事件列，若$\sum_{n=1}^{\infty}Pr(A_n)=\infty$，则$Pr(A_n,i.o)=1 $。

下面给出一个简单的例子予以说明引理2。假设我们抛掷一个骰子无穷多次，那么骰子正面出现数值6无穷多次的概率是多少？答案是1。实际上令$A_n$表示第$n$次抛掷出现6，容易知道$Pr(A_n)=1/6$，而且$\{A_n,\ge 1\}$之间相互独立，从而$\sum_{n=1}^{\infty}Pr(A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}1/6=\infty$，因此，$A_n$发生无穷多次的概率是1。换而言之，只要某一事件可能发生，即使发生的概率非常非常小，同时不同事件相互独立，则该事件在无限长时间内几乎必然发生。