笔记

这是一篇个人笔记，对照原文去掉了着重标识。

原文可参见《刘润对谈吴军：每个人都一定要有数学思维》。

具体来说，数学思维包括哪些呢？下面介绍$5$种。

数学思维一：从不确定性中找到确定性

第一种数学思维，源自于概率论，叫做从不确定性中找到确定性。

什么意思？

假如一件事情成功的概率是$20\%$，是不是就意味着，我重复做这件事$5$次，就一定能成功呢？

很多人会这样想，但事实并不是这样。

如果我们把$95\%$的概率定义为成功，那么这件$20\%$成功概率的事，你需要重复做$14$次。

换句话说，你只要把这件$20\%$成功概率的事，重复做$14$次，你就有$95\%$的概率能做成。

计算过程:

做一次失败的概率为：$ 1-20\%=80\%=0.8 $

重复做$n$次至少有一次成功的概率是$95\%$，就相当于重复做$n$次每一次都不成功的概率是$5\%$，

重复做$n$次都不成功 $0.8^n =1- 95\% = 5\% $

$$ n=\log(0.8,0.05)=13.42 $$

所以重复做$13.42$次，你成功的概率能达到$95\%$。

如果你要达到$99\%$的成功概率，那么你需要重复做21次。

那想达到$100\% $的成功概率呢？

对不起，这个世界上没有$100\%$的概率，所有人想要做成事，都需要一点点运气。

我们经常说，正确的事情，要重复做。

它其实就是概率论的自然语言表述。

所谓正确的事情，其实指的就是大概率能成功的事情。

而所谓的重复，学会了概率论，我们就对重复这件事有了定量的理解。

相对应地，很多人都想过，假如我在一个领域成功的概率是$1\%$，那么我找到$20$个领域来做，是不是跟一个领域$20\%$的效果是一样的？

如果我们依然把$95\%$定为成功的标准，那么$1\%$成功概率的事情，你需要重复做$298$次。

而这，还只是一个领域。

这就像很多人会问，我是成为一个全才，把$20$个领域都试个遍，更容易成功？

还是成为一个专才，在一个领域深耕，更容易成功呢？

概率论会告诉你，成为一个专才，成功的可能性更大。

理解了这件事情，你就会明白，创业要专注，不要做太多事，做太多事，你本来$20\%$的概率就只剩1%了，你成功的概率就会更小。

你看，虽然这个世界上没有$100\%$的概率，但是只要重复做大概率成功的事情，你成功的概率就能够接近$100\%$。

这就叫从不确定性中找到确定性。

这是概率论教会我们最重要的思维。

我们学习概率论，不是为了去算题，而是要理解这种思考方法，在做人生选择的时候，就能选对那条大概率成功的道路。

数学思维二：用动态的眼光看问题

第二种数学思维，源自于微积分，叫做用动态的眼光看问题。

很多人一听说微积分，想到那些复杂的微分方程、积分方程，就头疼。

别怕。

我们今天不谈方程，只谈微积分的思维方式。

微积分的思维方式其实特别简单，也正因为简单到极致，所以非常漂亮。

微积分是牛顿发明的。他为什么要发明微积分呢？

是为了虐死后世的我们吗？

当然不是。

其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。

比如，我知道一段距离的长短，和走完这段距离的时间，就可以算出一个平均速度。

但是，每个瞬间的速度，我是不了解的。

于是，牛顿就发明了微分，用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。

而积分跟微分正好相反，它反应的是瞬间变量的积累效应。

那么，到底什么是微积分？

我举个简单的例子。

一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。

但有了加速度，并不会瞬间产生速度。

加速度累积一段时间，才会有速度。

而有了速度，并不会瞬间产生位移。

速度累积一段时间，才会有位移。

宏观上，我们看到的是位移，但是从最微观的角度来看，其实是从加速度开始的。

加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。

这，就是积分。

反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度在一段时间的累积。

而物体之所以会有速度，是因为加速度在一段时间的累积。

位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。

而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。

宏观上，我们看到的是位移，但是从微观上来看，其实是每一个瞬间速度的累积。

而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度。

这，就是微分。

那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？

理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。

什么意思？

加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。

其实人也是一样。

你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能力。

你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。

而你有了能力，并不会马上做出成绩。

你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。

而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。

你的成绩，得累积一段时间，才会得到领导赏识。

从努力，到能力，到成绩，到赏识，它是有一个过程的，有一个积分的效应。

但是你会发现，生活中有很多人，在开始努力的第一天，就会抱怨说，我今天这么努力，领导为什么不赏识我？

他忘了，这其实还需要一个积分的效应。

反过来说，有些人可能一直以来工作都做得很好，但是从某个时候开始，因为一些原因，慢慢懈怠了。

他的努力程度下降了，但这个时候，他的能力并不会马上跟着下降。

可能过了三四个月，才会慢慢显示出来。他会发现做事情开始不能得心应手了。

然后又过了三四个月，他做出来的东西，领导开始越来越看不上了。

在这一瞬间，很多人会觉得，有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗。

但他忘了，这其实是一个积分效应，这样的结果，其实早在七八个月前他不努力的时候，就埋下了种子。

努力的时候，都希望大家瞬间认可；而出了问题，却不去想几个月之前的懈怠。

这是很多人都容易走进的思维误区。

而如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可，你就会拥有一个平衡的心态，就会避免犯这样的错误。

吴军老师经常讲一句话，叫做莫欺少年穷。

其实，从本质上来说，这也是微积分的思维方式。

少年虽穷，虽然他目前积累的还很少，但是，只要他的增速（用数学的语言来说，叫导速度）够快，经过五年十年，他的积累会非常高。

吴军老师给年轻人提建议说，不要在乎你的第一份薪水。

这其实这也是微积分的思维方式。

一开始拿多少钱不重要，重要的是增速（导数）。

微积分的思维方式，从本质上来说，就是用动态的眼光看问题。

一件事情的结果，并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应。

出了问题，不要只看当时那个瞬间，你只有从宏观，一直追溯（求导）到微观，才能找到最根源的问题所在。

数学思维三：公理体系

第三种数学思维，源自于几何学，叫做公理体系。

什么是公理体系？

比如，几何学有一门分科，叫做欧几里得几何，也被称为欧氏几何。

欧氏几何有5条最基本的公理：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

公理，是具有自明性并且被公认的命题。

在欧氏几何中，其他所有的定理（或者说命题），都是以这5条公理为出发点，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。

从这5条公理出发，可以推导出无数条定理。

比如：

每一条线的角度都是180度。

三角形的内角和等于180度。

过直线外的一点，有且只有的一条直线和已知直线平行。

……

这构成了欧氏几何庞大的公理体系。

如果说公理体系是一棵大树，那么公理就是大树的树根。

而在几何学的另一门分科，罗巴切夫斯基几何中，它的公理体系又不一样了。

从罗巴切夫斯基几何的公理出发，可以推导出这样的定理：

三角形的内角和小于180度。

过直线外的一点，至少有两条直线和已知直线平行。

这跟欧氏几何是完全不同的。

（罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识，但它其实解决的主要是曲面上的几何问题，跟欧氏几何并不冲突。）

因为公理不同，所以能推导出来的定理就不同，因此罗巴切夫斯基几何的公理体系，跟欧氏几何的公理体系，也完全不同。

在几何学中，一旦制定了不同的公理，就会得到完全不同的知识体系。

这就是公理体系的思维。

这种思维在我们的生活中非常重要。

比如，每家公司都有自己的愿景、使命、价值观，或者你也可以把它们称为公司基因或者文化。

因为愿景、使命、价值观不同，公司与公司之间的行为和决策，差异就会很大。

一家公司的愿景、使命、价值观，其实就相当于这家公司的公理。

公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。

所有的规章制度、工作流程、决策行为，都是在愿景、使命、价值观这些公理上，生长出来的定理。

它们构成了这家公司的公理体系。

而这个体系，一定是完全自洽的。

什么叫完全自洽？

就是一家公司一旦有了完备的公理，其实就不需要老板来做决定了。

因为公理能推导出所有的定理。

不管公司以后会怎么发展，会遇到什么情况，只要有公理存在，就会演绎出一套能够解决问题的新的法则（定理）。

而当你发现你的公司每天都需要老板来做决定，或者你的规章制度、工作流程、决策行为和你的愿景、使命、价值观不符。

通常是因为公理还不完备，或者你的推导过程出现了问题。

这个时候你就需要修修补补，将你公司的公理体系一步步搭建起来。

我曾跟小伙伴说：

我在公司只做三件事：设置责权利，捍卫价值观，和做一只安静的内容奶牛。

关于责权利法则，我们只有一条公理：创造最大价值的人，获得最大的收益。

所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根据这条公理，推演出的定理。

任何制度安排（定理），如果违背了唯一的公理，那一定是我的智商不够用导致的。

我会为我的智商道歉，然后坚定地修改制度安排（定理）。

如果我拒不改正，或者对公理有动摇，请毅然决然地离开我。那个我，不值得你们跟随。

我们因为有相同的公理体系，而彼此成就。

公理没有对错，不需要被证明，公理是一种选择，是一种共识，是一种基准原则。

制定不同的公理，就会得到完全不同的公理体系，也就会得到完全不同的结果。

数学思维四：数字的方向性

第四种数学思维，源自于代数，叫做数字的方向性。

我们学代数，最开始学的是自然数，包括0和正整数：0，1，2，3，4，5……

然后是整数，包括自然数和负整数：……-3，-2，-1，0，1，2，3……

然后是有理数，包括整数和分数。

在学习分数之前，数字在我们的认知中，是离散的，是一个一个的点。

而有了分数，数字就开始变得连续了。

这就像在生活中，一开始你看事情，看的是对和错，大和小。

而慢慢地，你认识到世界其实并没有这么简单，你看事情开始有了灰度。

有理数之后，我们又学了无理数。

无理数，就是无限不循环小数，比如π。

任何一个有理数，都可以由两个数相除而得来。

但是无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。

这会让你认识到，在这个世界上，有些事情就是复杂到无法有规律的。

π就是π，根号就是根号，它就是很复杂，你不要试图用一个简单粗暴的方式来定义它。

你要承认它的客观存在，承认这个世界的复杂性。

你看，我们不断深入学习各种数，其实就是在一步一步地理解世界的复杂。

再往复杂里说，数这个东西，除了大小，其实还有一个非常重要的属性：方向。

在数学上，我们把有方向的数字叫做向量。

数字，其实是有方向的。

这就像在公司里做事，两个人都很有能力，如果他们合作的时候，能力都能往一个方向使，形成合力，这是最好的结果。

而如果，他们的能力不能往一个方向使，反而互相牵制，那可能还不如完全交给其中一个人来做。

还有一种情况，做同一件事情，有的人想往东走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你并不知道哪个方向是正确的。

这时，你想要的，不是合力的大小，而是方向的相对正确性。

那你该怎么办呢？

你就让他们都去干这件事吧。

虽然大家的方向不同，会互相牵制，力的大小会有损耗。

但是最终事情的走向，会是那个相对正确的方向。

数学思维五：全局最优和达成共赢

第五种数学思维，源自于博弈论，叫做全局最优和达成共赢。

什么是博弈论？

我们每天都要做很多很多大大小小的决策。

比如，我今天是喝咖啡，还是喝茶？

这就是一个决策。

但这个决策只跟我自己有关，并不会涉及到别人。

而在生活中，有一类决策，是需要涉及到别人的。

涉及到别人的决策逻辑，我们把它叫做博弈论。

比如，下围棋就是典型的博弈。

每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。

这是博弈论中典型的零和博弈。

在零和博弈中，你要一直明白，你要的是全局的最优解，而不是局部最优解。

什么意思？

下围棋的时候，不是在每一步上，你都要吃掉对方最多的子。

你要让终局所得最多，就要步步为营，讲究策略。

有时候让子是为了以退为进，始终记得，你是为了全局最优，而不是局部最优。

很多时候办公司也是一样，不要总想着每一件事情都必须一帆风顺，如果你想得到最好的结果，可能在一些关键步数上就要做些妥协。

除了零和博弈，还有一种博弈，叫做非零和博弈。

非零和博弈讲究共赢。

共赢的前提，是建立信任。

建立信任，特别不容易，但是这件事情在商业世界里非常重要。

那怎么才能建立信任呢？

我给你两个建议。

第一个建议是，你要找到那些能够建立信任的伙伴。

有些人，是永远都无法和他达成共赢的，这样的人你就要远离。

第二个建议是，你要主动释放信任。

你要先让别人知道你是值得信任的人，这样想要与你达成共赢的人，就会来找到你。

总结

这里介绍了5种数学思维：从不确定性中找到确定性，用动态的眼光看问题，公理体系，数字的方向性，以及全局最优和达成共赢。

你不一定要会解大部分数学题，你不一定要背下来所有公式，你不一定要数学考试拿满分，但是你至少要训练自己的数学思维。

训练数学思维，是为了让自己拥有符合规律的思维方式。

孔子说：三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲不逾矩。

所谓的从心所欲不逾矩，不是说我要约束自己，让自己想做的事情不越出边界。

而是我因为拥有符合规律的思维方式，所以我做的事情根本就不会越出边界。

这，就是从心所欲的自由。