Tan Jay

刘润对谈吴军

Tan Jay / 2022-08-11


笔记

这是一篇个人笔记,对照原文去掉了着重标识。

原文可参见《刘润对谈吴军:每个人都一定要有数学思维》

Liu talk with Wu

具体来说,数学思维包括哪些呢?下面介绍$5$种。


数学思维一:从不确定性中找到确定性

第一种数学思维,源自于概率论,叫做从不确定性中找到确定性。

什么意思?

假如一件事情成功的概率是$20\%$,是不是就意味着,我重复做这件事$5$次,就一定能成功呢?

很多人会这样想,但事实并不是这样。

如果我们把$95\%$的概率定义为成功,那么这件$20\%$成功概率的事,你需要重复做$14$次。

换句话说,你只要把这件$20\%$成功概率的事,重复做$14$次,你就有$95\%$的概率能做成。

计算过程:

做一次失败的概率为:$ 1-20\%=80\%=0.8 $

重复做$n$次至少有一次成功的概率是$95\%$,就相当于重复做$n$次每一次都不成功的概率是$5\%$

重复做$n$次都不成功 $0.8^n =1- 95\% = 5\% $

$$ n=\log(0.8,0.05)=13.42 $$

所以重复做$13.42$次,你成功的概率能达到$95\%$

如果你要达到$99\%$的成功概率,那么你需要重复做21次。

那想达到$100\% $的成功概率呢?

对不起,这个世界上没有$100\%$的概率,所有人想要做成事,都需要一点点运气。

我们经常说,正确的事情,要重复做。

它其实就是概率论的自然语言表述。

所谓正确的事情,其实指的就是大概率能成功的事情。

而所谓的重复,学会了概率论,我们就对重复这件事有了定量的理解。

相对应地,很多人都想过,假如我在一个领域成功的概率是$1\%$,那么我找到$20$个领域来做,是不是跟一个领域$20\%$的效果是一样的?

如果我们依然把$95\%$定为成功的标准,那么$1\%$成功概率的事情,你需要重复做$298$次。

而这,还只是一个领域。

这就像很多人会问,我是成为一个全才,把$20$个领域都试个遍,更容易成功?

还是成为一个专才,在一个领域深耕,更容易成功呢?

概率论会告诉你,成为一个专才,成功的可能性更大。

理解了这件事情,你就会明白,创业要专注,不要做太多事,做太多事,你本来$20\%$的概率就只剩1%了,你成功的概率就会更小。

你看,虽然这个世界上没有$100\%$的概率,但是只要重复做大概率成功的事情,你成功的概率就能够接近$100\%$

这就叫从不确定性中找到确定性。

这是概率论教会我们最重要的思维。

我们学习概率论,不是为了去算题,而是要理解这种思考方法,在做人生选择的时候,就能选对那条大概率成功的道路。

数学思维二:用动态的眼光看问题

第二种数学思维,源自于微积分,叫做用动态的眼光看问题。

很多人一听说微积分,想到那些复杂的微分方程、积分方程,就头疼。

别怕。

我们今天不谈方程,只谈微积分的思维方式。

微积分的思维方式其实特别简单,也正因为简单到极致,所以非常漂亮。

微积分是牛顿发明的。他为什么要发明微积分呢?

是为了虐死后世的我们吗?

当然不是。

其实在牛顿以前,人们对速度这些变量的了解,仅限于平均值的层面。

比如,我知道一段距离的长短,和走完这段距离的时间,就可以算出一个平均速度。

但是,每个瞬间的速度,我是不了解的。

于是,牛顿就发明了微分,用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。

而积分跟微分正好相反,它反应的是瞬间变量的积累效应。

那么,到底什么是微积分?

我举个简单的例子。

一个物体静止不动,你推它一把,会瞬间产生一个加速度。

但有了加速度,并不会瞬间产生速度。

加速度累积一段时间,才会有速度。

而有了速度,并不会瞬间产生位移。

速度累积一段时间,才会有位移。

宏观上,我们看到的是位移,但是从最微观的角度来看,其实是从加速度开始的。

加速度累积,变成速度;速度累积,变成位移。

这,就是积分。

反过来说,物体之所以会有位移,是因为速度在一段时间的累积。

而物体之所以会有速度,是因为加速度在一段时间的累积。

位移(相对于时间)的一阶导数,是速度。

而速度(相对于时间)的一阶导数,是加速度。

宏观上,我们看到的是位移,但是从微观上来看,其实是每一个瞬间速度的累积。

而位移的导数,就是从宏观回到微观,去观察它“瞬间”的速度。

这,就是微分。

那么,微积分对我们的日常生活到底有什么用呢?

理解了微积分,你看问题的眼光,就会从静态变为动态。

什么意思?

加速度累积,变成速度;速度累积,变成位移。

其实人也是一样。

你今天晚上努力学习了,但是一晚上的努力,并不会直接变成你的能力。

你的努力,得累积一段时间,才会变成你的能力。

而你有了能力,并不会马上做出成绩。

你的能力,得累积一段时间,才会变成你的成绩。

而你有了一次成绩,并不会马上得到领导的赏识。

你的成绩,得累积一段时间,才会得到领导赏识。

从努力,到能力,到成绩,到赏识,它是有一个过程的,有一个积分的效应。

但是你会发现,生活中有很多人,在开始努力的第一天,就会抱怨说,我今天这么努力,领导为什么不赏识我?

他忘了,这其实还需要一个积分的效应。

反过来说,有些人可能一直以来工作都做得很好,但是从某个时候开始,因为一些原因,慢慢懈怠了。

他的努力程度下降了,但这个时候,他的能力并不会马上跟着下降。

可能过了三四个月,才会慢慢显示出来。他会发现做事情开始不能得心应手了。

然后又过了三四个月,他做出来的东西,领导开始越来越看不上了。

在这一瞬间,很多人会觉得,有什么大不了的,我不过就是这一件事没做好呗。

但他忘了,这其实是一个积分效应,这样的结果,其实早在七八个月前他不努力的时候,就埋下了种子。

努力的时候,都希望大家瞬间认可;而出了问题,却不去想几个月之前的懈怠。

这是很多人都容易走进的思维误区。

而如果你理解了微积分的思维方式,能够用动态的眼光来看问题,你就会慢慢体会到,努力需要很长时间才会得到认可,你就会拥有一个平衡的心态,就会避免犯这样的错误。

吴军老师经常讲一句话,叫做莫欺少年穷。

其实,从本质上来说,这也是微积分的思维方式。

少年虽穷,虽然他目前积累的还很少,但是,只要他的增速(用数学的语言来说,叫导速度)够快,经过五年十年,他的积累会非常高。

吴军老师给年轻人提建议说,不要在乎你的第一份薪水。

这其实这也是微积分的思维方式。

一开始拿多少钱不重要,重要的是增速(导数)。

微积分的思维方式,从本质上来说,就是用动态的眼光看问题。

一件事情的结果,并不是瞬间产生的,而是长期以来的积累效应。

出了问题,不要只看当时那个瞬间,你只有从宏观,一直追溯(求导)到微观,才能找到最根源的问题所在。

数学思维三:公理体系

第三种数学思维,源自于几何学,叫做公理体系。

什么是公理体系?

比如,几何学有一门分科,叫做欧几里得几何,也被称为欧氏几何。

欧氏几何有5条最基本的公理:

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。

公理,是具有自明性并且被公认的命题。

在欧氏几何中,其他所有的定理(或者说命题),都是以这5条公理为出发点,利用纯逻辑推理的方法推导出来的。

从这5条公理出发,可以推导出无数条定理。

比如:

每一条线的角度都是180度。

三角形的内角和等于180度。

过直线外的一点,有且只有的一条直线和已知直线平行。

……

这构成了欧氏几何庞大的公理体系。

如果说公理体系是一棵大树,那么公理就是大树的树根。

而在几何学的另一门分科,罗巴切夫斯基几何中,它的公理体系又不一样了。

从罗巴切夫斯基几何的公理出发,可以推导出这样的定理:

三角形的内角和小于180度。

过直线外的一点,至少有两条直线和已知直线平行。

这跟欧氏几何是完全不同的。

(罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识,但它其实解决的主要是曲面上的几何问题,跟欧氏几何并不冲突。)

因为公理不同,所以能推导出来的定理就不同,因此罗巴切夫斯基几何的公理体系,跟欧氏几何的公理体系,也完全不同。

在几何学中,一旦制定了不同的公理,就会得到完全不同的知识体系。

这就是公理体系的思维。

这种思维在我们的生活中非常重要。

比如,每家公司都有自己的愿景、使命、价值观,或者你也可以把它们称为公司基因或者文化。

因为愿景、使命、价值观不同,公司与公司之间的行为和决策,差异就会很大。

一家公司的愿景、使命、价值观,其实就相当于这家公司的公理。

公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。

所有的规章制度、工作流程、决策行为,都是在愿景、使命、价值观这些公理上,生长出来的定理。

它们构成了这家公司的公理体系。

而这个体系,一定是完全自洽的。

什么叫完全自洽?

就是一家公司一旦有了完备的公理,其实就不需要老板来做决定了。

因为公理能推导出所有的定理。

不管公司以后会怎么发展,会遇到什么情况,只要有公理存在,就会演绎出一套能够解决问题的新的法则(定理)。

而当你发现你的公司每天都需要老板来做决定,或者你的规章制度、工作流程、决策行为和你的愿景、使命、价值观不符。

通常是因为公理还不完备,或者你的推导过程出现了问题。

这个时候你就需要修修补补,将你公司的公理体系一步步搭建起来。

我曾跟小伙伴说:

我在公司只做三件事:设置责权利,捍卫价值观,和做一只安静的内容奶牛。

关于责权利法则,我们只有一条公理:创造最大价值的人,获得最大的收益。

所有的制度安排,都是我用我有限的智商,根据这条公理,推演出的定理。

任何制度安排(定理),如果违背了唯一的公理,那一定是我的智商不够用导致的。

我会为我的智商道歉,然后坚定地修改制度安排(定理)。

如果我拒不改正,或者对公理有动摇,请毅然决然地离开我。那个我,不值得你们跟随。

我们因为有相同的公理体系,而彼此成就。

公理没有对错,不需要被证明,公理是一种选择,是一种共识,是一种基准原则。

制定不同的公理,就会得到完全不同的公理体系,也就会得到完全不同的结果。

数学思维四:数字的方向性

第四种数学思维,源自于代数,叫做数字的方向性。

我们学代数,最开始学的是自然数,包括0和正整数:0,1,2,3,4,5……

然后是整数,包括自然数和负整数:……-3,-2,-1,0,1,2,3……

然后是有理数,包括整数和分数。

在学习分数之前,数字在我们的认知中,是离散的,是一个一个的点。

而有了分数,数字就开始变得连续了。

这就像在生活中,一开始你看事情,看的是对和错,大和小。

而慢慢地,你认识到世界其实并没有这么简单,你看事情开始有了灰度。

有理数之后,我们又学了无理数。

无理数,就是无限不循环小数,比如π。

任何一个有理数,都可以由两个数相除而得来。

但是无理数是无限不循环的小数,你找不到任何规律。

这会让你认识到,在这个世界上,有些事情就是复杂到无法有规律的。

π就是π,根号就是根号,它就是很复杂,你不要试图用一个简单粗暴的方式来定义它。

你要承认它的客观存在,承认这个世界的复杂性。

你看,我们不断深入学习各种数,其实就是在一步一步地理解世界的复杂。

再往复杂里说,数这个东西,除了大小,其实还有一个非常重要的属性:方向。

在数学上,我们把有方向的数字叫做向量。

数字,其实是有方向的。

这就像在公司里做事,两个人都很有能力,如果他们合作的时候,能力都能往一个方向使,形成合力,这是最好的结果。

而如果,他们的能力不能往一个方向使,反而互相牵制,那可能还不如完全交给其中一个人来做。

还有一种情况,做同一件事情,有的人想往东走,有的人想往西走,有的人想往北走,而你并不知道哪个方向是正确的。

这时,你想要的,不是合力的大小,而是方向的相对正确性。

那你该怎么办呢?

你就让他们都去干这件事吧。

虽然大家的方向不同,会互相牵制,力的大小会有损耗。

但是最终事情的走向,会是那个相对正确的方向。

数学思维五:全局最优和达成共赢

第五种数学思维,源自于博弈论,叫做全局最优和达成共赢。

什么是博弈论?

我们每天都要做很多很多大大小小的决策。

比如,我今天是喝咖啡,还是喝茶?

这就是一个决策。

但这个决策只跟我自己有关,并不会涉及到别人。

而在生活中,有一类决策,是需要涉及到别人的。

涉及到别人的决策逻辑,我们把它叫做博弈论。

比如,下围棋就是典型的博弈。

每走一步棋,我的所得就是你的所失,我的所失就是你的所得。

这是博弈论中典型的零和博弈。

在零和博弈中,你要一直明白,你要的是全局的最优解,而不是局部最优解。

什么意思?

下围棋的时候,不是在每一步上,你都要吃掉对方最多的子。

你要让终局所得最多,就要步步为营,讲究策略。

有时候让子是为了以退为进,始终记得,你是为了全局最优,而不是局部最优。

很多时候办公司也是一样,不要总想着每一件事情都必须一帆风顺,如果你想得到最好的结果,可能在一些关键步数上就要做些妥协。

除了零和博弈,还有一种博弈,叫做非零和博弈。

非零和博弈讲究共赢。

共赢的前提,是建立信任。

建立信任,特别不容易,但是这件事情在商业世界里非常重要。

那怎么才能建立信任呢?

我给你两个建议。

第一个建议是,你要找到那些能够建立信任的伙伴。

有些人,是永远都无法和他达成共赢的,这样的人你就要远离。

第二个建议是,你要主动释放信任。

你要先让别人知道你是值得信任的人,这样想要与你达成共赢的人,就会来找到你。

总结

这里介绍了5种数学思维:从不确定性中找到确定性,用动态的眼光看问题,公理体系,数字的方向性,以及全局最优和达成共赢。

你不一定要会解大部分数学题,你不一定要背下来所有公式,你不一定要数学考试拿满分,但是你至少要训练自己的数学思维。

训练数学思维,是为了让自己拥有符合规律的思维方式。

孔子说:三十而立,四十而不惑,五十而知天命,六十而耳顺,七十而从心所欲不逾矩。

所谓的从心所欲不逾矩,不是说我要约束自己,让自己想做的事情不越出边界。

而是我因为拥有符合规律的思维方式,所以我做的事情根本就不会越出边界。

这,就是从心所欲的自由。